ФОРМУЛА
ПИКА
С ее помощью можно вычислить площадь многоугольника с целочисленными вершинами.
Открыта в 1899 году.
Открыта в 1899 году.
КАК РАБОТАЕТ ФОРМУЛА?
Гениально!
Пусть бесконечная плоскость разбита вертикальными и горизонтальными прямыми на одинаковые квадраты.
Назовём узлами точки, являющиеся вершинами квадратов, и нарисуем произвольный многоугольник, все вершины которого лежат в узлах.
Подсчитаем количество В узлов, попавших строго внутрь многоугольника, и количество Г узлов, оказавшихся на его границе.
Оказывается, площадь любого такого многоугольника с вершинами в узлах зависит только от значений В и Г и вычисляется по формуле:
Это и есть знаменитая формула Пика, красота которой покорила весь мир!
Так, пятиугольник на рисунке имеет 8 узлов внутри (отмечены красным), то есть В = 8, и 9 узлов на границе (синие), то есть Г = 9.
Применив формулу, получаем:
Применив формулу, получаем:
Рассмотрим на примере:
S = 8 + 9/2 − 1 = 11,5
Формула Пика получила своё название по имени автора — австрийского учёного Георга Александра Пика (10 августа 1859 — 26 июля 1942), опубликовавшего её на рубеже XIX и XX веков.
Георг Пик родился в городе Вена одаренным ребенком, обучался отцом. Уже в 20 лет получил право преподавать физику и математику.
Большая часть научной карьеры Пика прошла в стенах Немецкого университета в Праге, где он также подружился с Альбертом Эйнштейном.
Пик вышел в отставку в 1927 году, получив звание почётного профессора, жил в Вене, а после начала Второй мировой войны - в Праге. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
Георг Пик родился в городе Вена одаренным ребенком, обучался отцом. Уже в 20 лет получил право преподавать физику и математику.
Большая часть научной карьеры Пика прошла в стенах Немецкого университета в Праге, где он также подружился с Альбертом Эйнштейном.
Пик вышел в отставку в 1927 году, получив звание почётного профессора, жил в Вене, а после начала Второй мировой войны - в Праге. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
КТО АВТОР?
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
Георг Пик
about the project
about the project
Георг Пик
ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ
Да, можно. Способ подсчета можно изучить по ссылке в статье "Пиковое занятие" журнала "Квантик".
Оказывается, существует аналог формулы Пика!
Площадь многоугольника в таком случае можно посчитать по формуле:
Sтреуг. (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) · 2 s0 = (2 В + Г – 2) · s0
(где s0 – площадь каждого из треугольников сетки).
Подробнее о том, каков принцип подсчета площади в таком случае и для некоторых иных сеток, изложен в статье "Треугольная формула Пика" в библиотеке сайта https://elementy.ru/
Площадь многоугольника в таком случае можно посчитать по формуле:
Sтреуг. (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) · 2 s0 = (2 В + Г – 2) · s0
(где s0 – площадь каждого из треугольников сетки).
Подробнее о том, каков принцип подсчета площади в таком случае и для некоторых иных сеток, изложен в статье "Треугольная формула Пика" в библиотеке сайта https://elementy.ru/
Формула Пика известна с XIX века, и с тех пор у неё появилось много доказательств, но большинство из них не такие уж простые.
Подробное объяснение одного из доказательств формулы Пика представлено в видео ролике по ссылке.
В 1997 году швейцарским математиком Кристианом Блаттером был предложен мысленный эксперимент с тающим льдом, который сразу объясняет формулу Пика. Рекомендуется прочитать статью Григория Мерзона «Площадь многоугольников и тающий лед» из 9-го номера «Квантика» за 2018 год.
Подробное объяснение одного из доказательств формулы Пика представлено в видео ролике по ссылке.
В 1997 году швейцарским математиком Кристианом Блаттером был предложен мысленный эксперимент с тающим льдом, который сразу объясняет формулу Пика. Рекомендуется прочитать статью Григория Мерзона «Площадь многоугольников и тающий лед» из 9-го номера «Квантика» за 2018 год.
Вывод:
Это формула, от которой поколение ЕГЭ в восторге. Формула Пика.
Это формула, от которой поколение ЕГЭ в восторге. Формула Пика.
*подтверждаю!
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
Решение:
Пример 3.
Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
Решение:
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)
Решение:
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)
Пример 1.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
Решение:
Пример 2.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырехугольник ABCD. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
Решение:
Пример 4.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
Решение:
Пример 5.
ПРИМЕРЫ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, которое от вас скрывали!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, которое от вас скрывали!
WATCH OUR SHOWREEL
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, которое от вас скрывали!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, которое от вас скрывали!
9 "б" класс
Автор проекта
Автор проекта
Губернаторов Артем
Учитель математики
Руководитель проекта
Руководитель проекта
Виктория Александровна Чагдурова
НАД ПРОЕКТОМ РАБОТАЛИ
BEST
